Fondamenti della meccanica atomica
e si trova immediatamente che, affinchè y1, y2risultino ortogonali e normalizzate, i coefficienti devono essere soggetti alle restrizioni
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Sviluppando il quadrato che figura in questa formula, ed utilizzando la (32) e la proprietà di ortogonalità, si trova l'importante formula di
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Se si calcola, mediante la (36), l'integrale di ff* esteso a tutto l'intervallo (-l, l), si trova facilmente
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I coefficienti c1 e c2 sono dati dalla (50) e da essi si trova
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Questa speciale forma del gruppo d'onde presenta la particolarità che la A(k) è rappresentata da una formula analoga alla f: si trova difatti usando
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Accenneremo infine al caso in cui la singolarità si trova all'infinito, caso che si riconduce, come è noto, al precedente, con la trasformazione : si
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particella B riceve il quanto solo se il foro si trova sulla retta AB: invece è ben noto che un foro sottile dà luogo a fenomeni di diffrazione in virtù dei
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Sostituendo la (185) nella (183') si trova per v l' equazione
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trova
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e si trova
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Analogamente, in acustica, si trova, come è ben noto, che una cavità rettangolare può risuonare solo per certe determinate frequenze (frequenze
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Sostituendo la (233) nella (232) si trova per P l'equazione
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e cercando di soddisfare questa con la serie (234), si trova per le la formula ricorrente
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e ricavando dalla (259), si trova infine che, se E è negativo, esso deve avere uno degli autovalori
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si trova per le la formula ricorrente,
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Il fattore si determina con la condizione di normalizzazione (252): si trova
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più lungo, e perciò non lo riportiamo, e ci limitiamo a riferire il risultato essenziale. Si trova che i tre integrali (nei quali, naturalmente, in
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Si trova così la legge (già postulata da PLANCK nella teoria del corpo nero) che l'energia dell'oscillatore è sempre un multiplo intero del «quanto
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(1) L'energia viene a dipendere da m quando l'atomo si trova in un campo magnetico di intensità sufficiente a perturbare il moto: si produce allora
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Infine, per il quanto interno j si trova, con considerazioni analoghe, la stessa regola di selezione
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Eliminando v tra queste due equazioni si trova
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cioè ponendo , si trova, dopo facili riduzioni,
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Se per h, m, c si pongono i loro valori numerici, si trova
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che richiede, essendo f arbitraria, A' = B. Si trova dunque la condizione che abbiamo già espresso dicendo che l'equazione era autoaggiunta (v. § 3
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Confrontando con la (51) si trova
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che esprime che è hermitiano. Sottraendole invece, e badando alla (50'), si trova
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similmente si trova
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Essendo l' hamiltoniana della forma , si possono applicare le (111), (112) e si trova cosi
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dove ecc. sono dati dalla (124) e dalle analoghe. Sostituendovi queste espressioni, e tenendo conto delle (106), si trova con facili calcoli
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Sostituendo nella (128), si trova
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Applicando poi alla matrice le regole di permutazione (151) e (152) si trova
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e prendendo e dalla (163') e dalla (166), si trova
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e si trova così il risultato (175). Per si ricava invece
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Nel caso generale, si trova che la magnetizzazione equivalente è data, nella stessa approssimazione, da
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Si trova così
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Sviluppando il determinante si trova che esso è uguale a
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Moltiplicando a destra e a sinistra ambo i membri per , e ricordando le (301) si trova:
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Indicando al solito con l'energia potenziale del campo centrale in cui si trova l'elettrone, consideriamo uno stato stazionario di energia W: le
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Sostituendo nelle (334) e procedendo come poc'anzi, si trova che, se si prende
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Annullando poi il coefficiente di r si trova:
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Sostituendo queste espressioni nelle (346) e annullando intanto i coefficienti di , si trova
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Sostituendo per A e B le espressioni (345) e risolvendo rispetto a W si trova
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e, annullando il determinante dei coefficienti di queste due equazioni lineari in , si trova per l'equazione
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Sostituendo queste espressioni, e le analoghe per , e , nelle (349), si trova per le cs la formula ricorrente
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In prima approssimazione, la perturbazione del valore dell'energia si trova, come si è visto al § 39, risolvendo l'equazione
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Normalizzando e si trova che il modulo di questi coefficienti deve essere , cosicchè si può scrivere
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Sostituendo nei sistemi (394) le (399) e le (400) si trova che, per i = l, 2, 3, le prime due equazioni sono identicamente soddisfatte e le altre due
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Le due sommatorie doppie si calcolano, per le varie coppie (j, l), utilizzando le (391) e la (389), e si trova così in definitiva per la matrice
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(1) Un'esposizione d'insieme di questi lavori, con le relative indicazioni bibliografiche, si trova nel n. 1 della bibl., da cui sono tolti i dati
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trova una goccia di mercurio, cosicchè il pallone contiene vapore di mercurio saturo alla temperatura ordinaria, e quindi a densità piccolissima. Se
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Accademia della crusca
